Polygongeometrie: Fünfecke, Sechsecke und Zwölfecke

Nur wenige geometrische Formen sind so vielfältig wie Polygone. Dazu gehören das bekannte Dreieck, Quadrat und Fünfeck, aber das ist nur der Anfang.

In der Geometrie ist ein Polygon jede zweidimensionale Form, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Besteht aus drei oder mehr geraden Linien
• Ist geschlossen, ohne Öffnungen oder Brüche in der Form
• Verfügt über Linienpaare, die an den Ecken oder Scheitelpunkten verbunden sind und dort Winkel bilden
• Hat die gleiche Anzahl an Seiten und Innenwinkeln

Zweidimensional bedeutet flach wie ein Blatt Papier. Würfel sind keine Polygone, weil sie dreidimensional sind. Kreise sind keine Polygone, da sie keine geraden Linien enthalten.

Eine besondere Art von Polygon kann Winkel haben, die nicht alle gleich sind. In diesem Fall heißt es ein irregulär Polygon.

Über Polygone

De Agostini / A. Dagli Orti / Getty Images

Der Name Polygon kommt von zwei griechischen Wörtern:

Poly ,was bedeutet viele Gon ,was bedeutet Winkel

Formen, die Polygone sind

• Trigon (Dreieck): 3 Seiten
• Tetragon (Quadrat): 4 Seiten
• Fünfeck: 5 Seiten
• Sechseck: 6 Seiten
• Siebeneck: 7 Seiten
• Achtecke: 8 Seiten
• Neuneck: 9 Seiten
• Zehneck: 10 Seiten
• Undecagon: 11 Seiten
• Zwölfecke: 12 Seiten

Wie Polygone benannt werden

Lifewire / Ted French

Die Namen einzelner Polygone leiten sich von der Anzahl der Seiten oder Ecken ab, die die Form besitzt. Polygone haben die gleiche Anzahl an Seiten und Ecken.

Der gebräuchliche Name für die meisten Polygone ist das griechische Präfix für „Seiten“, das an das griechische Wort für Ecke (gon) angehängt ist.

Beispiele hierfür für fünf- und sechsseitige regelmäßige Vielecke sind:

Penta(Griechisch bedeutet fünf) + gon = Pentagon Hexa(Griechisch bedeutet sechs) + gon = Hexagon

Es gibt Ausnahmen von diesem Namensschema. Vor allem mit Wörtern, die häufiger für einige Polygone verwendet werden:

Dreieck:Verwendet das griechische Präfix Drei , aber anstelle des griechischen gon,das Latein Winkel wird eingesetzt. Trigon ist der korrekte geometrische Name, wird aber selten verwendet.Viereck: Abgeleitet vom lateinischen Präfix Gemälde, was vier bedeutet und dem Wort beigefügt ist seitlich, Das ist eine andere lateinische Wortbedeutung Seite . Quadrat: Manchmal wird ein vierseitiges Polygon (ein Quadrat) als a bezeichnet Viereck oder Viereck .

N-Buzz

Polygone mit mehr als 10 Seiten kommen selten vor, folgen aber der gleichen griechischen Namenskonvention. Ein 100-seitiges Polygon wird also als a bezeichnet Hektogon .

In der Mathematik werden Fünfecke jedoch manchmal bequemer als „Fünfecke“ bezeichnet n-buzz :

• 11-Eck: Hendecagon
• 12-Eck: Zwölfeck
• 20-Eck: Ikosagon
• 50-Eck: Pfingsteck
• 1000-Eck: Chiliagon
• 1000000-Eck: Megagon

In der Mathematik werden n-Ecke und ihre Gegenstücke mit griechischen Namen synonym verwendet.

Polygongrenze

Theoretisch gibt es keine Begrenzung für die Anzahl der Seiten, die ein Polygon haben kann.

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Wenn die Innenwinkel eines Polygons größer und die Länge seiner Seiten kürzer wird, nähert sich das Polygon einem Kreis an, erreicht diesen aber nie ganz.

Polygone klassifizieren

Lifewire / Ted French

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Regelmäßige vs. unregelmäßige Polygone

Polygone werden danach klassifiziert, ob alle Winkel oder Seiten gleich sind oder nicht.

Regulär Polygon : Alle Winkel sind gleich groß und alle Seiten sind gleich lang.Irregulär Polygon : Hat keine gleich großen Winkel oder Seiten gleicher Länge.

Konvexe vs. konkave Polygone

Eine zweite Möglichkeit, Polygone zu klassifizieren, ist die Größe ihrer Innenwinkel.

Konvexe Polygone :Keine Innenwinkel größer als 180° haben.Konkave Polygone: Mindestens einen Innenwinkel haben, der größer als 180° ist.

Einfache vs. komplexe Polygone

Eine andere Möglichkeit, Polygone zu klassifizieren, ist die Art und Weise, wie sich die Linien, die das Polygon bilden, schneiden.

Einfache Polygone: Die Linien verbinden oder schneiden sich nur einmal – an den Eckpunkten.Komplexe Polygone: Die Linien schneiden sich mehr als einmal.

Die Namen komplexer Polygone unterscheiden sich manchmal von denen einfacher Polygone mit der gleichen Seitenzahl.

Zum Beispiel:

• Eine regelmäßig geformte Hexagon ist ein sechsseitiges, einfaches Polygon.
• Eine sternförmige Hexagramm ist ein sechsseitiges, komplexes Polygon, das durch Überlappung zweier gleichseitiger Dreiecke entsteht.

Summe der Innenwinkelregel

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In der Regel wird jedes Mal, wenn einem Polygon eine Seite hinzugefügt wird, wie zum Beispiel:

• Vom Dreieck zum Viereck (drei bis vier Seiten)
• Vom Fünfeck zum Sechseck (fünf bis sechs Seiten)

Zur Summe der Innenwinkel werden weitere 180° addiert.

Diese Regel kann als Formel geschrieben werden:

(n - 2) × 180°

wobei n gleich der Anzahl der Seiten des Polygons ist.

Die Summe der Innenwinkel eines Sechsecks kann also mithilfe der Formel ermittelt werden:

(6 - 2) × 180° = 720°

Wie viele Dreiecke hat dieses Polygon?

Die obige Innenwinkelformel wird durch die Aufteilung eines Polygons in Dreiecke abgeleitet. Diese Zahl kann mit der folgenden Berechnung ermittelt werden:

n - 2

In dieser Formel ist n gleich der Anzahl der Seiten des Polygons.

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Ein Sechseck (sechs Seiten) kann in vier Dreiecke (6 - 2) und ein Zwölfeck in 10 Dreiecke (12 - 2) unterteilt werden.

Winkelgröße für regelmäßige Polygone

Bei regelmäßigen Polygonen, bei denen die Winkel alle gleich groß und die Seiten gleich lang sind, kann die Größe jedes Winkels in einem Polygon berechnet werden, indem die Gesamtgröße der Winkel (in Grad) durch die Gesamtzahl der Seiten dividiert wird.

Für ein regelmäßiges sechsseitiges Sechseck beträgt jeder Winkel:

720° ÷ 6 = 120°

Einige bekannte Polygone

Scott Cunningham / Getty Images

Zu den bekannten Polygonen gehören:

Traversen

Dachstühle sind oft dreieckig. Abhängig von der Breite und Neigung des Daches kann das Fachwerk aus gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken bestehen. Aufgrund ihrer großen Festigkeit werden Dreiecke beim Bau von Brücken und Fahrradrahmen verwendet. Sie sind im Eiffelturm prominent.

Das Pentagon

Das Pentagon – das Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums – hat seinen Namen von seiner Form. Das Gebäude ist ein fünfseitiges, regelmäßiges Fünfeck.

Home-Plate

Ein weiteres bekanntes fünfseitiges reguläres Fünfeck ist die Home-Plate auf einem Baseball-Diamanten.

Das gefälschte Pentagon

Ein riesiges Einkaufszentrum in der Nähe von Shanghai, China, hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks und wird manchmal als „Fake Pentagon“ bezeichnet.

Schneeflocken

Jede Schneeflocke ist zunächst ein Sechseck, doch durch Temperatur und Luftfeuchtigkeit bilden sich Zweige und Ranken, so dass am Ende jede Schneeflocke anders aussieht.

Bienen und Wespen

Zu den natürlichen Sechsecken gehören auch Bienenstöcke, bei denen jede Zelle einer Wabe, die die Bienen zur Aufnahme von Honig bauen, sechseckig ist. Auch die Nester der Papierwespen enthalten sechseckige Zellen, in denen sie ihre Jungen großziehen.

Der Giant's Causeway

Sechsecke findet man auch im Giant's Causeway im Nordosten Irlands. Es handelt sich um eine natürliche Felsformation, die aus etwa 40.000 ineinandergreifenden Basaltsäulen besteht, die entstanden, als die Lava eines alten Vulkanausbruchs langsam abkühlte.

Das Achteck

Das Octagon – der Name des Rings oder Käfigs, der in UFC-Kämpfen (Ultimate Fighting Championship) verwendet wird – hat seinen Namen von seiner Form. Es ist ein achtseitiges regelmäßiges Achteck.

Stopp Schilder

Das Stoppschild – eines der bekanntesten Verkehrszeichen – ist ein weiteres achtseitiges regelmäßiges Achteck. Obwohl die Farbe, der Wortlaut oder die Symbole auf dem Schild variieren können, wird in vielen Ländern der Welt die achteckige Form des Stoppschilds verwendet.